什麼是拓撲動力系統

又稱抽象動力系統，是具有連續性質的動力系統。它是通過拓撲映射（不一定通過微分方程）來定義的。設常微分系統

的右側函數

（1）初值條件：φ(x，0)=x；

（2）φ(x，t)對x，t一併連續；

（3）羣的條件：即對任意x∈

（4）φ(x，t)對t可微。

爲了更一般地研究問題，可以拋開常微分系統，並假設空間是一般的度量空間R。設φ(x，t)是R×I到R且滿足性質①、②、③的單參數連續變換羣，則所有這些變換的全體稱爲拓撲動力系統或抽象動力系統，記作

例如，下面是一個有趣的拓撲動力系統──別布托夫系統。

令勪

對距離ρ，勪 構成完備的可分的度量空間。定義映射φ：勪×I→I 如下：

於是它構成一個拓撲動力系統，稱爲別布托夫系統，簡記爲

由n個符號所組成的一切可能的雙無窮序列，在上述類似的距離和軌線的定義下，組成動力系統，稱爲符號動力系統，它可視爲

若ƒ(x)呏с，則φ(ƒ(x)，t)是休止點；若 ƒ(x+ω)＝ƒ(x)，對一切x∈I，其中ω>0，則φ(ƒ(x)，t)是週期軌線。週期軌線在

極限點集及軌線分類

G.D.伯克霍夫認爲，動力系統理論主要是研究各種軌線的類型及其間的關係。爲了研究軌線的分類，必須瞭解軌線在無窮時(t→±∞)的狀態。

極限點集

設：實數列

不變集

設給定集合A吇R，若對一切t∈I，φ(A，t)=A，則稱A是不變集。Ωx和Ax是閉的不變集。任何一條軌線是不變集，但不一定是閉集。

極小集

集合∑吇R稱爲極小集，若它是非空、閉的且不變;同時它沒有任何真子集也具有這三條性質。顯然，Σ中的每一條軌線在Σ上處處稠密。另外，在

例如，

又如，前例中，當у是無理數時，令

伯克霍夫證明，若R是緊緻度量空間，則在其上定義的動力系統Rt至少包含一個緊緻極小集。

當R是緊緻的二維定向流形，在其上定義了C2光滑動力系統。若A是Rt的極小集且在R上無處稠密，則A必是休止點或週期軌線。若Ωx中不包含休止點或週期軌線，則Ωx=T2=R。但當Rt只是C1光滑時，A.當儒瓦在1931年舉出過反例（見常微分方程定性理論）。

軌線分類

根據軌線的極限點的性質，可分爲：

（1）若Ωx=═，則稱φ(x，t)爲正向遠離；

（2）若Ωx≠═，但φ(x，I)∩Ωx=═，則稱φ(x，t)爲正向漸近；

（3）若

仿此，有負向或雙側的遠離、漸近和泊松穩定軌線，後者分別簡稱爲p-或p穩定。休止點和週期軌線是p穩定的。R2上的連續動力系統的 p穩定軌線只能是休止點或週期軌線，且其上的 p+或p- 穩定軌線必是p穩定軌線。而當R≠R2時，情形就完全不同了。如前述的T2上被奇點切成兩段的軌線， 一條是p+穩定的， 另一條是p-穩定的，而T2上其餘的都是p 穩定的軌線。比起遠離和漸近軌線來，p 穩定軌線是較複雜和較有興趣的。從天體力學觀點看，p穩定軌線在它的運行過程中，將不斷地在其軌線的任一點的任意小鄰域內再現。與此現象相反的是下面的情形。

設點x∈R，若存在它的鄰域U(x)及時間T>0，使得當t≥T 時，U(x)∩φ(x，t)=═，則稱x爲遊蕩點。R上的所有遊蕩點集W是R上的不變開集。V=RW是相對於R的非遊的點集，它是不變閉集。所有p穩定軌線上的點都是非遊蕩點。反之，卻不然。如前述的被奇點切斷的那條軌線，若再用有限個奇點將它切斷，則每兩個奇點之間的那些軌線就既非p-穩定也非p+穩定，但其上都是非遊蕩點。

對於p穩定軌線φ(x，t)，根據在其運行過程中，它在軌線上任一點的任意小鄰域中再現的時間序列的性質不同，可分成很多類型，除了週期軌線外，最重要的是以下兩類。

若對任給ε>0，存在T(ε)>0及I上對T(ε)而言的相對稠密集{τn}，使得對一切t∈I和一切τn，有ρ(φ(x，t)，φ(x，t+τn))<ε，則稱軌線φ(x，t)是幾乎週期軌線（或稱概週期軌線）。週期軌線便是幾乎週期的，若週期軌線的週期爲ω>0，則可取T(ε)=ω，τn=nω。

若上述相對稠密集{τn}是依賴於軌線上的點y=φ(x，t)或者說依賴於t的，即{τn(t)}，則稱φ(x，t)爲回覆軌線。回覆軌線和幾乎週期軌線的閉包的性質是不同的。伯克霍夫證明，緊緻極小集內的每條軌線都是回覆的;反之，在完備空間內回覆軌線的閉包是緊緻極小集。而緊緻極小集Σ成爲幾乎週期軌線的閉包的充分必要條件是：Σ是緊緻、交換、連通拓撲羣。

前例中未被奇點切斷的軌線都是p穩定的，但它們不是回覆的。類似地，可構造雙週期函數

A.M.李亞普諾夫穩定性（見常微分方程運動穩定性理論）、吸引區等概念已經推廣到拓撲動力系統。對非自治微分方程的解來引進動力系統，即所謂“斜積流”，這是值得注意的動向。