什麼是九章算術

中國古代數學專著，是《算經十書》（漢唐之間出現的十部古算書）中最重要的一種。魏晉時劉徽爲《九章算術》作注時說：“周公制禮而有九數，九數之流則《九章》是矣”，又說“漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補，故校其目則與古或異，而所論多近語也”。可見《九章算術》上承先秦數學發展之源流，入漢之後又經許多學者的刪補方纔最後成書的。它的出現，標誌着中國古代數學體系的形成。

《漢書·藝文志》(班固根據劉歆《七略》寫成者)中著錄的數學書僅有《許商算術》、《杜忠算術》兩種，並無《九章算術》，可見《九章算術》的出現要晚於《七略》。《後漢書·馬援傳》載其侄孫馬續“博覽羣書，善《九章算術》”，馬續是公元1世紀最後二、三十年時人。再根據《九章算術》中可供判定年代的官名、地名等來推斷，現傳本《九章算術》的成書年代大約是在公元 1世紀的下半葉。後世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學，許多人曾爲它作過註釋。其中最著名的有劉徽(263)、李淳風(656)等人。劉、李等人的註釋和《九章算術》一起流傳至今。唐宋兩代，《九章算術》都由國家明令規定爲教科書。到了北宋，《九章算術》還曾由政府進行過刊刻(1084)，這是世界上最早的印刷本數學書。在現傳本《九章算術》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，現藏於上海圖書館（孤本，殘，只餘前五卷）。清代戴震由《永樂大典》中抄出《九章算術》全書，並作了校勘。此後的《四庫全書》本、武英殿聚珍本、孔繼涵刻的《算經十書》本(1773)等，大多數都是以戴校本爲底本的。

作爲一部世界科學名著，《九章算術》在隋唐時期即已傳入朝鮮、日本。現在，它已被譯成日、俄、德、法等多種文字。

《九章算術》共收有246個數學問題，分爲九章、它們的主要內容分別是：

第一章“方田”：田畝面積計算；

第二章“粟米”：穀物糧食的按比例折換；

第三章“衰分”：比例分配問題；

第四章“少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等；

第五章“商功”：土石工程、體積計算；

第六章“均輸”：合理攤派賦稅；

第七章“盈不足”：即雙設法問題；

第八章“方程”：一次方程組問題；

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的。

《九章算術》中的數學成就是多方面的。

（1）在算術方面的主要成就有分數運算、比例問題和“盈不足”算法。

《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作。“方田”章中系統敘述了約分、通分、比較不同分母分數的大小以及分數的四則運算。通分時使用的是輾轉相減法。

在“粟米”、“衰分”、“均輸”各章中，有着許多比例問題，在世界上也是比較早的。

“盈不足”算法也是一項創造。如“人出八盈三，人出七則不足四，問人數物價各幾何”這類“盈不足”問題的解法，需要給出兩次假設，中世紀歐洲稱它爲“雙設法”，有人認爲它是由中國經中世紀阿拉伯國家傳去的。

（2）在幾何方面：主要是面積（方田）、體積(商功)計算問題。

（3）在代數方面：主要有一次方程組解法、負數概念的引入及其加減法法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等。

《九章算術·方程》章共 18問，全都是一次方程組問題，未知數最多時可達五個。其解法，首先以豎行用算籌列出各方程的係數，如“方程”章第一題，它相當於求解：

3x+2y+z=39， (1)

2x+3y+z=34， (2)

x+2y+3z=26。 (3)

列出的籌式如

1　2 3

2　3 2

3　1 1 26 3439 [3][2]　 [1]

豎行[1]、[2]、[3]，即相當於上面的式(1)、(2)、(3)。其消元方法就是令左右行連續相減（如以3乘[2]再連續減[1]即可消去x項係數）。“程”是指“計算”、“方”是指這樣列出的籌式是方形的，這纔是“方程”這一數學術語的原意。《九章算術》中的這項成果，比世界其他國家和地區的同類成果要早很多年。“方程”章還在世界數學史上首次引入了負數及其加減法運算法則。

在《九章算術》中，開平方和開立方時所列籌式以及演算過程，其意義和求解x2=A、x3=B的數值解法是相同的。這樣，在開平方的過程中便可很自然地引出一般二次方程的解法。由此出發，更開宋元時期高次方程數值解法的先聲。