一階線性微分方程通解公式是什麼？

y’+p(x)y=g(x)。

一階線性微分方程可以寫成y’+p(x)y=g(x)。形如y' P(x)y=Q(x)的線性微分方程稱之為一階線性微分方程，Q(x)稱為隨意項。一階指的是方程中關於Y的導數是一階導數。線性，指的是方程簡化後的每一項關於y、y’的次數為0或1。

其通解形式為

實際上公式：y＇＋Py＝Q之通解為y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一個不定積分都要算出具體的原函數且不再加C，其中C為常數，由函數的初始條件決定。

而本題∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因為有抽象函數f（x）無法算出具體的原函數，所以要用不定積分與變限積分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C，本題用此公式取上式的a＝0，C換為C1，（當然被積函數也要換成本題的被積函數），令C=u(x)，代入公式後C1＋C換為C2再換為C。這樣才能代入初始條件y（0）＝0，求出C。