數列有界一定收斂嗎

有界數列不一定收斂。例如，已知數列{(-1)^n}是有界的，但它卻是發散的。

換句話說，有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。

又例如數列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|u003c=1{b(n)}有界，b(n)爲擺動數列，但是不收斂。數列中的每一項均不超過一個固定的區間，其中分上界和下界。假設存在定值a，任意n有{An（n爲下角標）=B，稱數列{An}有下界B，如果同時存在A、B使得數列{An}的值在區間[A,B]內，數列有界。數列{Xn}滿足：對一切n有Xn≤M（其中M是與n無關的常數）稱數列{Xn}上有界（有上界）並稱M是他的一個上界。

對一切n有Xn≥m（其中m是與n無關的常數）稱數列{Xn}下有界（有下界）並稱m是他的一個下界。一個數列{Xn}，若既有上界又有下界，則稱之爲有界數列。顯然數列{Xn}有界的一個等價定義是：存在正實數X，使得數列的所有項都滿足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

數列收斂必有界，但數列有界不一定收斂。即，數列有界是數列收斂的必要不充分條件。發散數列有可能是有界數列，有界數列也可能是發散數列。

如：1，-1，1，-1，……爲發散數列，同時也是有界數列。無窮小數列一定是收斂數列和有界數列；無窮大數列一定是發散數列和無界數列，並且一定不是收斂數列。收斂數列的所有子列都收斂，並且這些子列和這個數列本身有相同的極限值。

在實數範圍內，如果一個數列單調有界，則這個數列一定是收斂數列。增、減或改變一個收斂數列的有限項，不影響這個數列的收斂性和極限值。有限個無窮小數列與有界數列的乘積必收斂，並且極限值爲0。兩個收斂數列的和、差、積仍爲收斂數列；兩個發散數列的和、差、積既可能是發散數列，也可能是收斂數列。