勾股數有哪些

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3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等等。

勾股數，又名畢氏三元數。勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。勾股數的依據是勾股定理。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。

勾股定理說明，平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。

勾股定理在西方被稱爲Pythagoras定理，它以公元前6世紀希臘哲學家和數學家的名字命名。可以有理由認爲他是數學中最重要的基本定理之一，因爲他的推論和推廣有着廣泛的引用。雖然這樣稱呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，實際上比Pythagoras早一千多年的古巴比倫人就已經發現了這一定理，在Plimpton 322泥板上的數表提供了這方面的證據，這塊泥板的年代大約是在公元前1700年。對勾股定理的證明方法，從古至今已有400餘種。

據《周髀算經》記載，“昔者周公問與商高曰：請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升．地不可得尺寸而度．請問數安從出．商高曰．數之法．出於圓方．圓出於方．方出於矩．矩出於九九八十一．故折矩，以爲句，廣三，股修四．徑隅五．既方其外．半之一矩．環而共盤．得成三四五．兩矩共長二十有五．是謂積矩．故禹之所以治天下者．此數之所生也．周公曰．大哉言數．請問用矩之道．商高曰．平矩以正繩．偃矩以望高。覆矩以測深．臥矩以知遠．環矩以爲圓．合矩以爲方．方屬地．圓屬天．天圓地方．方數爲典．以方出圓。笠以寫天．天青黑．地黃赤．天數之爲笠也．青黑爲表．丹黃爲裏．以象天地之位．是故．知地者智．知天者聖．智出於句．句出於矩．夫矩之於數．其裁製萬物．惟所爲耳．周公曰．善哉。”

（3n、4n、5n）（n是正整數）（這是最著名的一組！俗稱“勾三，股四，弦五”。古人把較短的直角邊稱爲勾，較長直角邊稱爲股，而斜邊則爲弦。）（5n、12n、13n）（n是正整數）

a=2mn

b=m²-n²

c=m²+n²

證：

假設a²+b²=c²，這裏研究(a,b)=1的情況（如果不等於1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可）

如果a,b均奇數，則a² + b² = 2(mod 4)（奇數mod4餘1），而2不是模4的二次剩餘，矛盾，所以必定存在一個偶數。不妨設a=2k

等式化爲4k² = (c+b)(c-b)

顯然b,c同奇偶（否則右邊等於奇數矛盾）

作代換：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，顯然M，N爲正整數

往證：(M,N)=1

所以(M,N)=1得證。

依照算術基本定理，k² = p₁a₁×p₂a₂×p₃a₃×…，其中a₁,a₂…均爲偶數，p₁,p₂,p₃…均爲質數

如果對於某個pi，M的pi因子個數爲奇數個，那N對應的pi因子必爲奇數個（否則加起來不爲偶數），從而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1與剛纔的證明矛盾　所以對於所有質因子,pi²|M, pi²|N，即M，N都是平方數。

設M = m², N = n²

從而有c+b = 2m², c-b = 2n²，解得c=m²+n², b=m²-n², 從而a=2mn

股數