數軸的起源

數軸的起源於1637年法國數學家笛卡爾的提出的平面直角座標系。法國數學家笛卡爾在思考如何用幾何圖形來表示方程時，受到蜘蛛吐絲的啓發，利用三根數軸畫出了平面直角座標系，數軸也因此被稱爲一種特定的幾何圖形。數軸右邊上點表示的數總大於左邊上點表示的數。

數軸的作用

1、能形象地表示數：橫向數軸上的點和實數成一一對應，即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示。2、比較實數大小：以0爲中心，右邊的數比左邊的數大。

3、虛數也可以用垂直於橫向數軸且同一原點的縱向數軸表示，這樣就與橫向數軸構成了複數平面。

4、用兩根互相垂直且有同一原點的數軸可以構成平面直角座標系；用三根互相垂直且有同一原點的數軸可以構成空間直角座標系，以確定物體的位置。

七年級數學知識點梳理

第一章  有理數總複習

一、知識歸納：

1、數軸是一條規定了原點、方向、長度單位的直線。有了數軸，任何一個有理數都可以用它上面的一個確定的點來表示。在數的研究上它起着重要的作用。它使數和最簡單的圖形——直線上的點建立了對應關係，它揭示了數和形之間的內在關係，因此它是數形結合的基礎。但要注意數軸上的所有點並不是都有有理數和它對應。藉助於數軸上點的位置關係可以比較有理數的大小，法則是：在數軸上表示的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大。

2、相反數是指只有符號不同的兩個數。零的相反數是零。互爲相反的兩個數位於數軸上原點的兩邊，離開原點的距離相等。有了相反數的概念後，有理數的減法運算就可以轉化爲加法運算。

3、絕對值：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。顯然有：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零。對於任何有理數a，都有 ≥0。

4、倒數可以這樣理解:如果a與b是非零的有理數,並且有a×b=1，我們就說a與b互爲倒數。有了倒數的概念後，有理數的除法運算就可以轉化爲乘法運算。

5、有理數的大小比較：

（1）正數都大於零，負數都小於零，即負數＜零＜正數；（2）兩個正數，絕對值大的數較大；

（3）兩個負數，絕對值大的數反而小；（4）在數軸上表示的有理數，右邊的數總比左邊的大；

6、科學記數法：是指任何數記成a×10n的形式，其中用式子表示|a|的範圍是0＜|a|＜10。

7、近似數與有效數字：

近似數：一個與實際數很接近的數，稱爲近似數；

有效數字：從左邊第一個不爲0的數字起，到精確到的數位止，這些數字都是這個數的有效數字。

（1）有效數字越多，近似數就越精確；（2）由四捨五入得到的近似數0.003206，左邊第一個不是零的數是3，最後一位四捨五入所得到的數是6，從3到6中間的所有的數字是3、2、0、6，左邊的三個不算，但2和6之間的0要算，這個近似數有4個有效數字。

二、有理數的運算法則

1、有理數的加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；異號兩數相加，絕對值相等時和爲0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；一個數同0相加，仍得這個數。由此可得，互爲相反數的兩數相加的0；三個數相加先把前兩個數相加，或先把後兩個數相加，和不變。

2、有理數的減法法則：減去一個數等於加上這個數的相反數。注意：一切加法和減法運算都可以統一成加法運算。

3、有理數的乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。任何數同零相乘都得零。

4、有理數的除法法則：兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。零除以任何一個不爲零的數都得零。

5、有理數混合運算的順序：有理數混合運算中，先算乘方，再算乘除，最後算加減。運算中，如果有括號，就先算括號裏面的。、

6、有理數的運算律：

交換律：a＋b=b＋a ,   ab=ba.

結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) ,  (ab)c=a(bc).

乘法對加法的分配律：a(b＋c)=ab＋ac.

三、值得注意的幾個問題

1、數的範圍擴大到有理數後，一定要注意考慮負數。如不能認爲“最小的整數是零”。

2、有理數都可以用數軸上的點表示；但數軸上的點不都表示有理數。

3、單獨的一個數或字母，省略的指數是“1”，而不是零。

4、對負數或分數進行乘方運算要注意加括號。如當 時， ；而不是 。

5、有理數的運算要特別注意符號。

第二章   整式的加減

一、知識梳理

1、______和______統稱整式。

①單項式：由       與        的乘積式子稱爲單項式。單獨一個數或一個字母也是單項式，如a ，5。

•單項式的係數：單式項裏的                  叫做單項式的係數。

•單項式的次數：單項式中                             叫做單項式的次數。

②多項式:幾個            的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的     ，不含字母的項叫做           。

•多項式的次數：多項式裏                  的次數，叫做多項式的次數。

•多項式的命：一個多項式含有幾項，就叫幾項式。所以我們就根據多項式的項數和次數來命名一個多項式。如：3n4－2n2＋1是一個四次三項式。

2、同類項——必須同時具備的兩個條件（缺一不可）：

①所含的         相同；

②相同                       也相同。

•合併同類項，就是把多項式中的同類項合併成一項。

方      法：把各項的        相加，而           不變。

3、去括號法則

法則1.括號前面是“+”號,把括號和它前面的“+”號去掉,

括號裏各項都        符號；

法則2.括號前面是“-”號,把括號和它前面的“-”號去掉,

括號裏各項都        符號。

  ▲去括號法則的依據實際是                  。

〖注意1〗要注意括號前面的符號,它是去括號後括號內各項是否變號的依據.

〖注意2〗去括號時應將括號前的符號連同括號一起去掉.

〖注意3〗括號前面是“-”時,去掉括號後,括號內的各項均要改變符號,不能只改變括號內第一項或前幾項的符號,而忘記改變其餘的符號. 若括號前是數字因數時,可運用乘法分配律先將數與括號內的各項分別相乘再去括號,以免發生錯誤.

〖注意4〗遇到多層括號一般由裏到外,逐層去括號,也可由外到裏.數“-”的個數.

4、整式的加減

整式的加減的過程就是          。如遇到括號，則先          ，再           ，合併到                爲止。

5、本單元需要注意的幾個問題

①整式（既單項式和多項式）中，分母一律不能含有字母。

②π不是字母，而是一個數字，

③多項式相加（減）時，必須用括號把多項式括起來，才能進行計算。

④去括號時，要特別注意括號前面的因數。

第三章 一元一次方程

一、知識梳理

1．方程

（1）方程的定義：含有未知數的等式叫做方程.

（2）方程的解：能夠使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解.

（3）解方程：求方程解的過程叫做解方程.

2．一元一次方程：

只含有一個未知數，並且未知數的次數是1，這樣的方程叫做一元一次方程.

3．解一元一次方程的步驟：

①去分母，在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數，注意不要漏乘不含分母的項，分子爲多項式的要加上括號；

②去括號，一般先去小括號，再去中括號，最後去大括號，注意不要漏乘括號裏的項，當括號前是“-”時，去掉括號時注意括號內的項都要變號；

③移項，將含有未知數的項移到方程的一邊，不含未知數的項移到方程的另一邊，注意移項要變號，移項和交換位置不同；

④合併同類項，將同類項合併成一項，把方程化爲ax=b（a≠0） 的形式，注意只合並同類項的係數；

⑤係數化爲1，在方程ax=b的兩邊都除以a，求出方程的解x=  ，注意符號，不要把方程ax=b的解寫成x= 。

4．列方程解應用題的步驟：

（1）讀題找相等關係：認真讀題，理解題意，分清已知與未知，找出相等關係.

（2）設出適當的未知數：根據問題的實際情況，設未知數可以直接設未知數，也可以間接設未知數.

（3）列方程：根據問題中的一個相等關係列出方程.

（4）解方程：解所列的方程，求出未知數的值.

（5）寫出所求解的答案：求到方程的解，要檢驗它是否符合實際意義，如果符合實際意義，要寫出完整的答案.

5．實際問題的常見類型

(1)利息問題:①相關公式:本金×利率×期數=利息(未扣稅)②相等關係:本息=本金+利息.

(2)利潤問題:①相關公式:利潤率=利潤÷進價②相等關係:利潤=售價-進價.

(3)等積變形問題:①相關公式:長方體的體積=長×寬×高圓柱的體積=底面積×高.

②相等關係:變形前的體積=變形後的體積.

(4)工程問題

①數量關係:工作量=工作時間×工作效率.②相等關係:總工作量=各部分工作量的和.

(5)行程問題:①相關數量關係:路程=時間×速度②相等關係: (相遇問題)兩者路程和=總路程(追及問題)兩者路程差=相距路程.

二、思想方法總結

1．方程的思想：方程的思想就是把末知數看成已知數，讓代替未知數的字母和已知數一樣參與運算，這是一種很重要的數學思想，很多問題都能歸結爲方程來處理。

2、數形結合的思想：數形結合的思想是指在研究問題的過程中，由數思形，由形思數，把數和形結合起來分析問題的思想方法。本章在列方程解應用題時常採用畫圖，列表格的方法展示數量關係。使問題更形象、直觀。

3、“化歸思想”：所謂化歸思想，是指在如解數學問題時，如果對當前的問題感到困惑，可把它先進行交換，使之筒化，並得到解決的思維方法。如本章解方程的過程，就是把形式比較複雜的方程，逐步化簡爲最簡方程ax=b(a=0)，從而求出方程的解，通過對解一元一次方程的學習要體會並掌據化歸這一數學思想方法。

三、易錯點突破

1、應用等式的基本性質時出現錯誤

例1　下列說法正確的是（）

A、在等式ab=ac中，兩邊都除以a，可得b=c

B、在等式a=b兩邊都除以c2+1可得

C、在等式 兩邊都除以a，可得b=c

D、在等式2x=2a一b兩邊都除以2，可得x=a一b

剖析：A中a代表任意數，當a≠0時結論成立；但當a=0時，不能運用等式的性質（2）結論不一定成立，如0•3=0•（－1）但3≠－1，所以，等式兩邊同時除以一個數，要保證除數不爲0才能行。B中c2+1≠0所以成立C用的性質錯誤，應在等式兩邊都乘以a，D中一b這一項沒除以2，應爲x=a－ 選B

2、去分母去括號時出現漏乘現象或出現符號錯誤；移項不變號，錯把解方程的過程寫成“連等”的形式。

例2　解方程 .

錯解： =3x-2+10=x+6=2x=－2=x=－1

剖析：錯解的原因是對方程的變形理解不深，受到代數式運算時使用連等式的習慣影響。

正解：去分母得3x-2+10=x+6

移項合併同類項得2x=－2,所以x=－1

3、列方程解應用題時常出現的錯誤

（1）審題不清，沒有弄請各個量所表示的意義；

（2）列方程出現錯誤

（3）應用公式錯誤

（3）單住不統一

（4）計算方法出現錯誤。

第四章 圖形認識初步

一、知識梳理

二、重點、難點：

立體圖形與平面圖形的互相轉化，及一些重要的概念、性質等是本章的重點。

建立和發展空間觀念是空間與圖形學習的核心目標之一，能由實物形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的相互轉化是培養空間觀念的重要方面。另外，對圖形的表示方法，對幾何語言的認識與運用，都要有一個熟悉的過程。等等這些，對於今後的學習都很重要，同時也是本章的難點。

三、知識要點：

本章的主要內容是圖形的初步認識，從生活周圍熟悉的物體入手，對物體的形狀的認識從感性逐步上升到抽象的幾何圖形。通過從不同方向看立體圖形和展開立體圖形，初步認識立體圖形與平面圖形的聯繫。在此基礎上，認識一些簡單的平面圖形——直線、射線、線段和角。

1.多姿多彩的圖形：通過多姿多彩的圖形引入幾何圖形，使我們認識立體圖形、平面圖形，通過三視圖我們可以把立體圖形轉化爲平面圖形來研究和處理，也可以把立體圖形展開爲平面圖形；幾何體也簡稱爲體，包圍體的是面，面面相交爲線，線線相交爲點；點動成線，線動成面，面動成體，幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構成圖形的基本元素。如廣場禮花在夜空中留下的圖形，你是否看到了點動成線？在電視中看到收割機在麥田中收割小麥，你是否看到了線動成面？

2.直線、射線、線段的區別與聯繫：從圖形上看，直線、射線可以看做是線段向兩邊或一邊無限延伸得到的，或者也可以看做射線、線段是直線的一部分；線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點；線段可以度量，直線、射線不能度量。

3.直線、線段性質：

經過兩點有一條直線，並且只有一條直線；或者說兩點確定一條直線；

兩點的所有連線中，線段最短；簡單說：兩點之間，線段最短。

4.線段中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點，如圖：

若點C是線段AB的中點，則有（1）AC=BC= AB 或（2）AB=2AC=2BC，反之，若有（1）式或（2）式成立，亦能說明點C是線段AB的中點。

5.關於線段的計算：兩條線段長度相等，這兩條線段稱爲相等的線段，記作AB=CD，平面幾何中線段的計算結果仍爲一條線段。即使不知線段具體的長度也可以作計算。

例：如圖：AB+BC=AC，或說：AC-AB=BC

6.角的意義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊，角也可以看做由一條射線繞着它的端點旋轉而形成的圖形。

7.角的度量：1°=60′　 1′=60″ 　1周角=360°　1平角=180° 　1直角=90°

8.角的大小的比較：（1）疊合法，使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊在重合邊的同旁進行比較；（2）度量法。

9.角的平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。如圖：OC平分∠AOB，則（1）∠AOC=∠BOC= ∠AOB或（2）2∠AOC =2∠BOC =∠AOB。

10.有關角的運算：

舉例說明：如圖，∠AOC+∠BOC=∠AOB，∠AOB-∠AOC=∠BOC

特殊情況，如果兩個角的和等於直角，就說這兩個角互爲餘角，即其中一個是另一個的餘角；如果兩個角的和等於平角，就說這兩個角互爲補角，即其中一個是另一個的補角；等角的餘角相等，等角的補角相等。

座標系與實數的由來

座標系的由來

據說有一天，法國哲學家、數學家笛卡爾生病臥牀，病情很重，儘管如此他還反覆思考一個問題：幾何圖形是直觀的，

而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數方程結合起來，

也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，

關鍵是如何把組

成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤，他苦苦思索，

拼命琢磨，通過什麼樣的方法，才能把“點”和“數”聯繫起來。

突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉着絲垂了下來，一會功夫，

蜘蛛又順着絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，

它在屋子裏可以

上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子裏相鄰的兩面牆與地面交出了三條線，

如果把地面上的牆角作爲起點，把交出來的三條線作爲三根數軸，

那麼空間中任意一點的位置就可以用這三根數軸上找到有順序的三個數。

反過來，任意給一組三個有順序的數也可以在空間中找出一點P

與之對應，同樣道理，用一組數（x、y

）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以有用一組兩個有順序的數來表示，

這就是座標系的雛形。

實數的由來

從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作數；後來有虛數概念的引入，爲加以區別而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，儘管虛數已經出現並廣爲使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康託等人對實數進行了嚴格處理。

平面直角座標系的由來是什麼?

平面直角座標系的由來是、笛卡爾。

平面直角座標系是由笛卡爾發明的，座標系巧妙地把形與數聯繫在一起。

在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角座標系，簡稱直角座標系（Rectangular Coordinates）。

通常，兩條數軸分別置於水平位置與垂直位置，取向右與向上的方向分別爲兩條數軸的正方向。

水平的數軸叫做x軸（x-axis）或橫軸，垂直的數軸叫做y軸（y-axis）或縱軸，x軸y軸統稱爲座標軸，它們的公共原點O稱爲直角座標系的原點（origin）。

以點O爲原點的平面直角座標系記作平面直角座標系xOy。

在平面“二維”內畫兩條互相垂直，並且有公共原點的數軸，簡稱直角座標系。平書局面直角座標系有兩個座標軸，其中橫軸爲x軸（x-axis）。

取向右方向爲正方向；縱軸爲y軸（y-axis)，取向上爲正方向。座標系所在平面叫做座標平面，兩座標軸的公共原點叫做平面直角座標系的原點。

x軸y軸將座標平面分成了四個象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

象限以數軸爲界，橫軸、縱軸上的點及原點不在任何一個象限內。一般情況下，x軸y軸取相同的單位長平面直角座標系度，但在特殊的情況下，也可以取不同的單位長度。

國中所學的所有知識點

國中數學基礎知識點總彙

一、數與代數A：數與式：

1：有理數

有理數：①整數→正整數/0/負整數 ②分數→正分數/負分數

數軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作爲單位長度，規定直線上向右的方向爲正方向，就得到數軸

②任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。

③如果兩個數只有符號不同，那麼我們稱其中一個數爲另外一個數的相反數，也稱這兩個數互爲相反數。

在數軸上，表示互爲相反數的兩個點，位於原點的兩側，並且與原點距離相等。

④數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數大於0，負數小於0，正數大於負數。

絕對值：①在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。

②正數的絕對值是他本身/負數的絕對值是他的相反數/0的絕對值是0.

兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。

有理數的運算：

加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。

②異號相加，絕對值相等時和爲0；

絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。

③一個數與0相加不變。

減法： 減去一個數，等於加上這個數的相反數。

乘法：①兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。

②任何數與0相乘得0。

③乘積爲1的兩個有理數互爲倒數。

除法：①除以一個數等於乘以一個數的倒數。

②0不能作除數。

乘方：求N個相同因數A的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪，A叫底數，N叫次數。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最後算加減，有括號要先算括號裏的。

2：實數

無理數：無限不循環小數叫無理數

平方根：①如果一個正數X的平方等於A，那麼這個正數X就叫做A的算術平方根。②如果一個數X的平方等於A，那麼這個數X就叫做A的平方根。

③一個正數有2個平方根/0的平方根爲0/負數沒有平方根。④求一個數A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方數。

立方根：①如果一個數X的立方等於A，那麼這個數X就叫做A的立方根。

②正數的立方根是正數/0的立方根是0/負數的立方根是負數。

③求一個數A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數。

實數：①實數分有理數和無理數。

②在實數範圍內，相反數，倒數，絕對值的意義和有理數範圍內的相反數，倒數，絕對值的意義完全一樣。

③每一個實數都可以在數軸上的一個點來表示。

3：代數式

代數式：單獨一個數或者一個字母也是代數式。

合併同類項：①所含字母相同，並且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項。②把同類項合併成一項就叫做合併同類項。

③在合併同類項時，我們把同類項的係數相加，字母和字母的指數不變。

4：整式與分式

整式：①數與字母的乘積的代數式叫單項式，幾個單項式的和叫多項式，單項式和多項式統稱整式。②一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數。③一個多項式中，次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數。

整式運算：加減運算時，如果遇到括號先去括號，再合併同類項。

冪的運算：

整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們的係數，相同字母的冪分別相乘，其餘字母連同他的指數不變，作爲積的因式。②單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：①單項式相除，把係數，同底數冪分別相除後，作爲商的因式；對於只在被除式裏含有的字母，則連同他的指數一起作爲商的一個因式。②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。

分解因式：

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式

方法：提公因式法/運用公式法/分組分解法/十字相乘法

分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那麼這個就是分式，對於任何一個分式，分母不爲0。②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等於0的整式，分式的值不變。

分式的運算：

乘法：把分子相乘的積作爲積的分子，把分母相乘的積作爲積的分母。

除法：除以一個分式等於乘以這個分式的倒數。

加減法：①同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。②異分母的分式先通分，化爲同分母的分式，再加減。

分式方程：①分母中含有未知數的方程叫分式方程。②使方程的分母爲0的解稱爲原方程的增根。

B：方程與不等式

1：方程與方程組

一元一次方程：①在一個方程中，只含有一個未知數，並且未知數的指數是1，這樣的方程叫一元一次方程。②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以（不爲0）一個代數式，所得結果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合併同類項，未知數係數化爲1。

二元一次方程：含有兩個未知數，並且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解。

解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法。

2：不等式與不等式組

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：①關於同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

3：函數

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關係時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。

一次函數：

①若兩個變量x，y間的關係式可以表示成y=kx+b（b爲常數，k不等於0）的形式，則稱y是x的一次函數。②當b=0時，稱y是x的正比例函數。

一次函數的圖象：

①把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分別作爲點的橫座標與縱座標，在直角座標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。②正比例函數Y=KX的圖象是經過原點的一條直線。③在一次函數中，當k<0，b<O，則經234象限；當k<0，b>0時，則經124象限；當k>0，b<0時，則經134象限；當k>0，b>0時，則經123象限。④當k>0時，y的值隨x值的增大而增大，當x<0時，y的值隨x值的增大而減少。

二、空間與圖形

A：圖形的認識：

1：點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構成的。②面與面相交得線，線與線相交得點。③點動成線，線動成面，面動成體。

展開與摺疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側棱是相鄰兩個側面的交線，棱柱的所有側棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧，扇形：①由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。

2：角

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。④經過兩點有且只有一條直線。

比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最短。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞着他的端點旋轉而成的。②一條射線繞着他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那麼這兩條直線互相平行。

垂直：①如果兩條直線相交成直角，那麼這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

3：相交線與平行線

角：①如果兩個角的和是直角,那麼稱和兩個角互爲餘角；如果兩個角的和是平角，那麼稱這兩個角互爲補角。②同角或等角的餘角/補角相等。③對頂角相等。④同位角相等/內錯角相等/同旁內角互補，兩直線平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大於第三邊。三角形任意兩邊之差小於第三邊。③三角形三個內角的和等於180度。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個銳角互餘。⑥三角形中一個內角的角平分線與他的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個頂點與他對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交於一點，三條中線交於一點。⑨從三角形的一個頂點向他的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交於一點。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個能夠重合的圖形叫全等圖形。

全等三角形：①全等三角形的對應邊/角相等。②條件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，反之亦然。

5：四邊形

平行四邊形的性質：①兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫他的對角線。③平行四邊形的對邊/對角相等。④平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對角線互相平分的四邊形/一組對邊平行且相等的四邊形/兩組對邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領心的四條邊相等，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。③判定條件：定義/對角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形的對角線相等，四個角都是直角。③對角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

梯形：①一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線星等，反之亦然。

多邊形：①N邊形的內角和等於（N-2）180度。②多邊心內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，他們的和叫做這個多邊形的內角和（都等於360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前後的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

B：圖形與變換：

1：圖形的軸對稱

軸對稱：如果一個圖形沿一條直線摺疊後，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

軸對稱圖形：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對應角相等。

2:圖形的平移和旋轉

平移：①在平面內，將一個圖形沿着某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。

旋轉：①在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。②經過旋轉，圖形商店每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。

3：圖形的相似

比：① ，那麼AD=BC，反之亦然。② ，那麼 。

③ 那麼

黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC與BC，如果 ，那麼稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比（ ）。

相似：①各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對應邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。②條件：AA/SSS/SAS。

相似多邊形的性質：①相似三角形對應高，對應角平分線，對應中線的比都等於相似比。②相似多邊形的周長比等於相似比，面積比等於相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱爲位似比。②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於位似比。

C：圖形的座標

平面直角座標系：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角座標系。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸與Y軸統稱座標軸，他們的公共原點O稱爲直角座標系的原點。他們分4個象限。XA，YB記作（A，B）。

D：證明

定義與命題：①對名稱與術語的含義加以描述，作出明確的規定，也就是給出他們的定義。②對事情進行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個命題是由條件和結論兩部分組成。④要說明一個命題是假命題，通常舉出一個離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子叫做反例。

公理：①公認的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實，經過證明的真命題稱爲定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁內角互補，兩直線；平行，反之亦然；內錯角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個內角的和等於180度；三角形的一個外交等於和他不相鄰的兩個內角的和；三角心的一個外角大於任何一個和他不相鄰的內角。④由一個公理或定理直接推出的定理，叫做這個公理或定理的推論。

三、統計與概率

1：統計

科學記數法：一個大於10的數可以表示成 的形式，其中1小於等於A小於10，N是正整數。

扇形統計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分佔總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫做扇形統計圖。②扇形統計圖中，每部分佔總體的百分比等於該部分所對應的扇形圓心角的度數與360度的比。

各類統計圖的優劣：條形統計圖：能清楚表示出每個項目的具體數目；折線統計圖：能清楚反映事物的變化情況；扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所佔的百分比。

近似數字和有效數字：①測量的結果都是近似的。②利用四捨五入法取一個數的近似數時，四捨五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。③對於一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到的數位止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。

平均數：對於n個數 ，我們把 叫做這個n個數的算術平均數，記爲 。

加權平均數：一組數據裏各個數據的重要程度未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時往往給每個數據加一個權，這就是加權平均數。

中位數與衆數：①n個數據按大小順序排列，處於最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。②一組數據中出現次數最大的那個數據叫做這個組數據的衆數。③優劣：平均數：所有數據參加運算，能充分利用數據所提供的信息，因此在現實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數據的信息；衆數：各個數據如果重複次數大致相等時，衆數往往沒有特別的意義。

調查：①爲了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱爲普查，其中所要考察對象的全體稱爲總體，而組成總體的每一個考察對象稱爲個體。②從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱爲抽樣調查，其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。③抽樣調查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優點是調查範圍小，節省時間，人力，物力和財力，但其調查結果往往不如普查得到的結果準確。爲了獲得較爲準確的調查結果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。

頻數與頻率：①每個對象出現的次數爲頻數，而每個對象出現的次數與總次數的比值爲頻率。②當收集的數據連續取值時，我們通常先將數據適當分組，然後再繪製頻數分佈直方圖。

數據的波動：①極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差。②方差是各個數據與平均數之差的平方的平均數。③標準差就是方差的算術平方根。④一般來說，一組數據的極差，方差，或標準差越小，這組數據就越穩定。

2：概率

可能性：①有些事情我們能確定他一定會發生，這些事情稱爲必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會發生，這些事情稱爲不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會不會發生，這些事情稱爲不確定事件。③一般來說，不確定事件發生的可能性是有大小的。

概率：①人們通常用1（或100%）來表示必然事件發生的可能性，用0來表示不可能事件發生的可能性。②遊戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發生的概率爲1，記作P（必然事件）=1；不可能事件發生的概率爲0，記作P（不可能事件）=0；如果A爲不確定事件，那麼0 <P（A）<1。

定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關係：

（ ，b，c爲常數， ≠0，且 決定函數的開口方向， >0時，開口方向向上， <0時，開口方向向下。 還可以決定開口大小,越大開口就越小,越小開口就越大。）

則稱y爲x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常爲二次三項式。

x是自變量，y是x的函數

二次函數的三種表達式

一般式： （ ，b，c爲常數， ≠0）

頂點式：[拋物線的頂點P（h，k）] 對於二次函數其頂點座標爲

交點式：[僅限於與x軸有交點A（x₁ ，0）和 B（x₂，0）的拋物線

其中

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:

h=k=

二次函數的圖像

在平面直角座標系中作出二次函數 的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸爲直線x = h 。

對稱軸與拋物線唯一的交點爲拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂點P，座標爲P

當 b=0時，P在y軸上；當Δ=b方-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項係數 決定拋物線的開口方向和大小。

當 a＞0時，拋物線向上開口；當 a＜0時，拋物線向下開口。

絕對值越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數 共同決定對稱軸的位置。

當 a與b同號時（即 b＞0），對稱軸在y軸左；

當 a與b異號時（即 b＜0），對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b方-4ac ＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b方-4ac =0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b方-4ac ＜0時，拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數（x= 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2 ）

當 a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(y)=4ac-b方/4a ；

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸.

二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數（以下稱函數） ，

當y=0時，二次函數爲關於x的一元二次方程（以下稱方程），

即此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫座標即爲方程的根。

1．二次函數 ， ， ，(各式中， )的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：

頂點座標

(0，0)(h，0)(h，k)

對 稱 軸

x=0 x=h x=h x=-b/2a

當h>0時， 的圖象可由拋物線 向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，將拋物線 向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線 向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到 的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到 的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到 的圖象；

因此，研究拋物線的圖象，通過配方，將一般式化爲 的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

4．拋物線 的圖象與座標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點座標爲(0，c)；

(2)當△= >0，圖象與x軸交於兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的 , 是一元二次方程

( ≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由

|2×（ ）－A |（A爲其中一點）

當△=0．圖象與x軸只有一個交點；

當△<0．圖象與x軸沒有交點．當 >0時，圖象落在x軸的上方，x爲任何實數時，都有y>0；當 <0時，圖象落在x軸的下方，x爲任何實數時，都有y<0．

5．拋物線 的最值：如果 >0( <0)，則當x=時，y最小(大)值= ．

頂點的橫座標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱座標，是最值的取值．

6．用待定係數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件爲已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式爲一般形式：y=ax方+bx+c．(a不等於0)

(2)當題給條件爲已知圖象的頂點座標或對稱軸時，可設解析式爲頂點式：y=a(x-h)方+k．

(3)當題給條件爲已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式爲兩根式： y=a(x-x1)(x-x2)．

無理數的由來 無理數的由來是什麼

1、希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在着不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經後人證明簡直多得“不可勝數”。

2、於是，古希臘人把有理數視爲連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同芝諾悖論一同被稱爲數學史上的第一次數學危機，對以後2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學和邏輯學的發展，並且孕育了微積分思想萌芽。

3、不可約的本質是什麼？長期以來衆說紛紜，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直認爲是不可理喻的數。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之爲“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之爲“不可名狀”的數。

4、然而真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理纔是“無理”。人們爲了紀念希伯索斯這位爲真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名“無理數”——這就是無理數的由來。