什麼是置換羣

由置換組成的羣。n 元集合

或簡記爲

作用

G是一個羣，Ω是一個非空集合。G中每個元素g都對應Ω的一個映射：x→xg，x∈Ω，若滿足：

（1）

（2）xe=x（e是G的單位元素），則稱G作用於Ω上。G作用於Ω上的充分必要條件是，G同態於Ω上的一個置換羣。

設G是Ω上的一個置換羣，H是Γ上的一個置換羣。如果存在Ω到Γ上的一個一一對應ρ，以及G到H上的一個一一對應φ，使得對Ω中任一個點α及G中任一個置換g都有

如果 Ω與Γ都是n元集合，那麼Sω與Sг是置換同構的。因此，n元對稱羣都與Sn置換同構。

設σ是Ω上一個置換，若Ω中一些點α1，α2，…，αs使得

而σ保持Ω中其餘的點不動，那麼σ稱爲一個輪換，記作(α1，α2，…，αs)。若兩個輪換沒有公共的變動點，則稱這兩個輪換是不相交的。每一個置換都可表爲不相交輪換的乘積，稱爲置換的輪換表示法，而且除表示式中輪換的次序以外，置換的輪換表示法是惟一的。

兩個點的輪換稱爲對換。任一置換都可表爲一些對換的乘積，表示法不是惟一的，但是表示式中對換個數的奇偶是惟一確定的。若σ可表成偶數個對換的乘積，則稱σ爲偶置換。若σ可表成奇數個對換的乘積，則稱σ爲奇置換。

Sω中全部偶置換組成Sω的一個正規子羣，稱爲n元交錯羣，簡稱交錯羣，記作Aω。Sn的交錯子羣記作An。n元交錯羣都與An置換同構。當n≥2時，An的階爲n!/2。當n≠4時，An是單羣，這是一類很重要的有限單羣。

置換羣是有限羣的一類重要例子，有限羣的研究是從置換羣開始的。置換羣的重要性還在於下述事實。

凱萊定理

任一有限羣都與其元素的一個置換羣同構。

區及軌道

設G是Ω上一個置換羣，墹是Ω的一個子集，g是G中任一元素，用墹g表示墹在g下的像集

若對G中任一元素g，都有墹g=墹，則稱 墹是G的一個不變區。Ω及═都是不變區。不變區的交仍是不變區。

設墹是G的一個不變區，如果對墹中任意兩個點α、β都有G中一個元素g使得αg=β，那麼墹稱爲G 的一個軌道（或傳遞集）。如果墹是G 的一個軌道，那麼，任取墹中一個點α，都有

穩定子羣

設G是一個n元置換羣，作用於Ω上。取定Ω中一個點α，

如果對任一α∈Ω，都有Gα={e}，則稱G是半正則羣。此時，G的任一軌道長都等於｜G｜。

穩定子羣的概念還可以推廣到多個點的情形。取定Ω中k個點α1，α2，…，αk，則

傳遞性

設G是Ω上一個置換羣。若對任意α，β∈Ω，都可找到g∈G，使得αg=β，則稱G在Ω上是傳遞的；否則，稱G是非傳遞的。G是傳遞羣當且僅當Ω是 G的一個軌道。因此，若G是傳遞羣，則｜Ω｜是｜G｜的一個因子。若G是傳遞羣，且｜Ω｜=｜G｜，則稱G是一個正則羣。正則羣就是傳遞的半正則羣。

若在一個非正則傳遞羣G中，每個非單位元素最多保持一個文字不變，則G 稱爲弗羅貝尼烏斯羣。在弗羅貝尼烏斯羣G中，沒有不變文字的置換與恆等置換一起構成一個正則羣R，R是G 的一個特徵子羣。

若對於Ω中任意兩個k元有序點組α1，α2，…，αk及β1，β2，…，βk，都有G中一個置換g使

對稱羣Sn是 n重傳遞的，交錯羣An是n-2重傳遞的。除去Sn及An外，有無窮多個3重傳遞羣，但是隻知道4個4重傳遞羣，它們是法國數學家 É.L.馬蒂厄在1861年及1873年先後發現的次數分別爲11，12，23及24的馬蒂厄羣M11，M12，M23，M24，其中M12及M24是5重傳遞的，而且M11是M12的穩定子羣，M23是M24的穩定子羣，它們的階分別是

M11及M12都是精確傳遞羣。

在1981年有限單羣分類的問題解決以後，所有雙重傳遞羣已被決定，並且知道沒有傳遞重數大於或等於6的傳遞單羣，而交錯羣與上述4個馬蒂厄羣是僅有的4重傳遞的單置換羣。M23的穩定子羣是M22，也是一個單羣，這5 個馬蒂厄羣是最早發現的不屬於有限單羣的無窮系列的5個零散單羣。

秩

設G是Ω上的一個傳遞置換羣，α∈Ω，G對α的穩定子羣Gα作爲Ω上的置換羣，其軌道（包括平凡軌道{α}）數稱爲G的秩。顯然，當且僅當G的秩等於2時，G是雙傳遞的。秩爲 3的單傳遞羣是一類很重要的單傳遞羣，在26個零散單羣中，有8個是作爲秩是3的置換羣構造出來的羣。

本原性

設G是Ω上一個傳遞羣，若G沒有非平凡區， 則稱G是一個本原羣，否則稱爲非本原羣。多重傳遞羣一定是本原羣，Ω上傳遞羣G是本原羣的充分必要條件爲其穩定子羣Gα(α∈Ω)是G的極大子羣。如果Ω上一個置換羣G是k重傳遞的，並且對k-1個點的穩定子羣在其餘的點上是本原的，那麼G稱爲k重本原的。

k重集傳遞性及半傳遞性

比k重傳遞性較弱的一個概念是k重集傳遞性。設G是Ω上一個置換羣，若對於Ω的任意兩個k元子集Δ、Γ都可找到 G中一個元素g 使得Δg=Γ，則稱G是k重集傳遞的。傳遞性的另一個推廣是所謂半傳遞性，若G的軌道長都相等且大於1，則G稱爲半傳遞的，或

置換羣的一個古老而有意義的問題，是找出全部互不置換同構的置換羣。至今，已找出次數小於或等於11的全部置換羣。所謂置換羣的次數，即這個置換羣所有實際變動的點的個數。當12≤n≤15時找出了全部n次傳遞羣。而當n較大時，僅對n≤50找出了全部n次本原羣。

andt，Finite Permutation Groups， AcademicPress， New York，1964.

man，Permutation Groups， Benjamin， New York，1968.

ert and kburn，Finite Groups， Vol.3，Springer-Verlag， Berlin，1982.