什麼是正弦定理 證明常用哪4種方法

正弦定理是在三角形ABC中，已知三邊a、b、c和其中一個角A（角A必須是非直角角度），求角A所對邊a的長度的定理。其公式表達式爲：a/sinA = b/sinb = c/sinC，其中sinA表示角A的正弦值，a表示角A所對邊的長度，B、C與b、c的含義同理。可以利用正弦定理的定義推導、利用三角形面積公式推導、利用海倫公式推導、利用歐幾里得法證明等。

利用正弦定理的定義推導：對於任意的三角形ABC，都滿足以下關係：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

對於三角形ABC中的任何一個非直角角度A：sinA = a/b * sinB = a/c * sinC，這就是正弦定理的證明。利用歐幾里得法證明：對於任何平面三角形ABC，再單獨考慮其中的某一個角A。假設其高H與BC相交的點爲D，則有：BD/AH = c/b，AD/AH = sinB，AD/BD = AC/BC = sinA/sinB，將上式組合起來，可以得到正弦定理的形式：a/sinA= b/sinb = c/sinC。

利用三角形面積公式推導：根據向量叉積的定義，假設三角形ABC的兩個向量分別爲$vec{a}$=(x1,y1,z1), $vec{b}$=(x2,y2,z2)，其叉積表示爲$vec{a}$ × $vec{b}$ = $begin{vmatrix} hat{i} & hat{j} & hat{k} x_1 & y_1 & z_1 x_2 & y_2 & z_2 end{vmatrix}$，可以得到三角形ABC面積的公式爲：S = 1/2 |$vec{a}$ × $vec{b}$|，對於三角形ABC中的任何一個非直角角度A，可以將其面積分別表示爲：S = 1/2 * a * b * sinC = 1/2 * a * c * sinB

將上式兩邊除以a，再變形，可以得到正弦定理的形式：a/sinA= b/sinb = c/sinC。

利用海倫公式推導：對於三角形ABC，假設其三邊長爲a、b、c，海倫半周長爲p，即：p = (a+b+c)/2，則三角形ABC的面積可以表示爲：S = √p(p-a)(p-b)(p-c)，對於三角形ABC中的任何一個非直角角度A，可以將其面積表示爲：S = 1/2 * a * b * sinC = 1/2 * b * c * sinA，將上式兩邊除以bc，並將海倫公式代入，可以得到正弦定理的形式：a/sinA= b/sinb = c/sinC。