線性相關與無關的判斷方法

線性相關與無關判斷方法：

1、顯式向量組：將向量按列向量構造矩陣A，對A實施初等行變換， 將A化成梯矩陣，梯矩陣的非零行數即向量組的秩向量組線性相關 <=> 向量組的秩<向量組所含向量的個數。

2、隱式向量組：一般是設向量組的一個線性組合等於0，若能推出其組合係數只能全是0， 則向量組線性無關，否則線性相關。

線性相關與線性無關怎麼判斷？

設矩陣A爲m*n階矩陣。矩陣A的秩爲r，若r=n，則矩陣列向量組線性無關，若r<n，則矩陣列向量組線性相關。同理若r=m，則矩陣行向量組線性無關，若r<m，則矩陣行向量組線性相關。

向量組只包含一個向量a時，a爲0向量，則說A線性相關若a≠0, 則說A線性無關。

包含零向量的任何向量組是線性相關的。含有相同向量的向量組必線性相關。增加向量的個數，不改變向量的相關性。(注意，原本的向量組是線性相關的)

擴展資料：

若向量組所包含向量個數等於分量個數時，判定向量組是否線性相關即是判定這些向量爲列組成的行列式是否爲零。若行列式爲零，則向量組線性相關；否則是線性無關的。

正比例關係是線性關係中的特例，反比例關係不是線性關係。更通俗一點講，如果把這兩個變量分別作爲點的橫座標與縱座標。

其圖象是平面上的一條直線，則這兩個變量之間的關係就是線性關係。即如果可以用一個二元一次方程來表達兩個變量之間關係的話，這兩個變量之間的關係稱爲線性關係。

參考資料來源：百度百科——線性相關

怎麼判斷是線性相關，還是線性無關，要完整的

1、顯式向量組：

將向量按列向量構造矩陣A，對A實施初等行變換，將A化成梯矩陣，梯矩陣的非零行數即向量組的秩。

向量組線性相關 <=>向量組的秩 <向量組所含向量的個數

2、隱式向量組：

一般是設向量組的一個線性組合等於0，若能推出其組合係數只能全是0，則向量組線性無關，否則線性相關。

擴展資料：

線性相關增加向量的個數，不改變向量的相關性。(注意，原本的向量組是線性相關的)減少向量的個數，不改變向量的無關性。(注意，原本的向量組是線性無關的）一個向量組線性無關，則在相同位置處都增加一個分量後得到的新向量組仍線性無關。

常數對是否構成直線關係沒影響（假定常數不爲0）如：x=k*y+l*z+a（k，l是常數，y，z是變量，a是常數）那麼x與y，z還是線性的，因爲項：k*y是一次的，l*z這項也是一次的，常數項a沒影響。

如：x=7*y+8*z是線性的，x=－y－2*z是線性的。x=2*y*z是非線性的（因爲2yz這一項不是一次的）。

從二維圖像來講（假定只有y跟x這兩個變量），線性的方程一定是直線的，曲的不行，有轉折的也不行。

參考資料來源：百度百科——線性相關

參考資料來源：百度百科——線性關係

線性代數線性相關與無關的判斷方法

第一種從定義出發尋找一組非零常數，第二種求常數項的秩或者行列式，第三種尋找向量的個數是多少，如果多數向量可以由少數向量線性表示那麼多數向量一定是線性相關。擴展資料

設A爲a1(1,0,6,a1),a2(1,-1,2,a2),a3(2,0,7,a3),a4(0,0,0,a4)。判斷哪些向量一定是線性相關的，並且a1,a2,a3,a4是任意常數。a2,a3,a4秩的確定跟a的取值有關係，首先一行以及2,3，一定是線性相關。a1,a2,a3,a4一定是線性無關的無論a取任何值，秩一定是3的。

考察極大線性無關組的定義，定義裏說存在r個向量使得線性無關但是再加進去任何一個向量就變成線性相關的了。這裏確定的是加入任何一個向量一定是線性相關的，但是這r個向量卻不一定是線性無關的。

線性無關的定義，對於所有的向量其前面的所有的常數都是0向量組纔等於0向量那麼這個向量組是線性無關的。換一句話就是隻要存在一個常數不是0那麼這個向量組一定不是線性相關或者說是方程一定不是齊次的`。

已知一個矩陣以及增廣矩陣去證明b向量可以由A向量組線性表示，那麼首先確定的就是A的秩假設爲r那麼加進去以後秩還是一樣可以得到一個十字r(a1,a2,)=r(a1,a2,,b)容易發現其實就是線性表示的等價。

從極大線性無關組出發假設A的極大線性無關組是，那麼增廣矩陣的秩等於A的秩也就是說增廣矩陣是線性相關的。根據定義一個向量組線性無關填進去任何一個向量就變成線性相關的那麼這個新填進去的一定是可以被線性表示的，並且表示方法是唯一的。

線性相關和線性無關的判斷公式，誰記得？

|行列式|=0是線性相關。

線性相關和線性無關證明方法：

常用方法有兩個：定義法結合拆項或重組 || 用秩 。

線性無關：秩等於向量個數，齊次方程組只有零解。

從線性組合來看:

如果向量組α1,α2,...,αs(s≥1)線性相關

⟷k1α1+k2α2+...+ksαs=0,其中k1,k2,...,ks不全爲0.

如果向量組α1,α2,...,αs(s≥1)線性無關

⟷k1α1+k2α2+...+ksαs=0,其中k1=k2=...=ks=0.

從線性表出來看:

如果向量組α1,α2,...,αs(s≥2)線性相關

⟷其中至少有一個向量可以由其他向量線性表出.

如果向量組α1,α2,...,αs(s≥2)線性無關

⟷其中每一個向量都不可以由其他向量線性表出.

從齊次線性方程組來看:

如果列向量組α1,α2,...,αs(s≥1)線性相關

⟷齊次線性方程組x1α1+x2α2+...+xsαs=0有非零解.

如果列向量組α1,α2,...,αs(s≥1)線性無關

⟷齊次線性方程組x1α1+x2α2+...+xsαs=0只有零解.

怎樣簡單的判斷線性相關和線性無關

一、 定義與例子 :定義 9.1 對向量組 ，如果存在一組不全爲零的數 , 使得 那麼, 稱向量組 線性相關. 如果這樣的 個數不存在, 即上述向量等式僅當 時才能成立, 就稱向量組 線性無關. 含零向量的向量組 一定線性相關 , 因爲 其中, 不全爲零. 只有一個向量 組成的向量組線性無關的充分必要條件是 , 線性相關的充分必要條件是 . 考慮齊次線性方程組 (*) 它可以寫成 ， 或 , 其中 . 由此可見, 向量組 線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 有非零解. 也就是說, 向量組 線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 只有零解. 例1 向量組 是線性無關的 . 解: 設有 使 , 即 , 得齊次線性方程組 . 解此方程組得 , 所以向量組 線性無關. 例2 設向量組 線性無關, 又設 , 證明向量組 也線性無關. 證明: 設有 使 , 即 , 因爲 線性無關, 故有 此線性方程組只有零解 , 也即向量組 線性無關. 定理 9.1 向量組 線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其餘 個向量線性表示 . 證明: 必要性 設 線性相關, 即存在一組不全爲零的數 , 使得 . 不妨設 , 則有 , 即 可以由其餘 個向量 線性表示. 其實, 在向量等式 中, 任何一個係數 的向量 都可以由其餘 個向量線性表示 . 充分性 設向量組 中有一個向量能由其餘 個向量線性表示 . 不妨設 , 則 , 因爲 不全爲零, 所以 線性相關. 二、向量組線性相關和線性無關判別定理 :設矩陣 的列向量組爲 , 矩陣 的列向量組爲 ,其中矩陣 是通過對矩陣 做行初等變換後得到的.我們有以下定理: 定理 9.2 向量組 與向量組 有相同的線性相關性. 證明 :記 .那麼,當且僅當齊次線性方程組 有非零解時向量組 線性相關.當且僅當齊次線性方程組 有非零解時向量組 線性相關.由於齊次線性方程組 或者只是對調了 的第 個方程與第 個方程的位置,或者只是用非零數 承 的第 個方程,或者只是把 的第 個方程的 倍加到第 個方程上去,這連個方程組一定是同解的,所以,對應的向量組 有相同的線性相關性. 定理 9.3 如果向量組 線性相關,那麼 也線性相關. 證明 :向量組 線性相關,即存在不全爲零的數 使 , 於是 , 但是 , 仍不全爲零,因此,向量組 線性相關. 推論 9.4 線性無關向量組的任意一個非空部分組仍是線性無關向量組. 定理 9.5 設有 維向量組 與 維向量組 如果向量組 線性無關,那麼,向量組 也線性無關. 推論 9.6 維向量組的每一個向量添加 個分量成爲 維向量.如果 維向量組線性無關,那麼, 維向量組也線性無關.反言之,如果 維向量組線性相關,那麼, 維向量組也線性相關. 定義 9.2 在 型的矩陣 中,任取 行 列 ,位於這些行列交叉處的 個元素,不改變它們在 中所處的位置次序而得的 階矩陣行列式,稱爲矩陣 的 階子式. 型矩陣 的 階子式共有 個. 定理 9.7 設 維向量組 構成矩陣 則向量組 線性無關的充分必要條件是矩陣 中存在一個不等於零的 階子式. 推論 9.8 個 維向量組線性無關的充分必要條件是它們所構成的 階矩陣的行列式不等於零. 推論 9.9 當 時, 個 維向量 必線性相關. 思考題：1、 舉例說明下列各命題是錯誤的 (1) 若向量組 線性無關，則 可由 線性表示(2) 若有不全爲零的數 使 則 線性相關, 也線性相關(3) 若只有當 全爲零時, 等式 才能成立 線性無關, 也線性無關(4) 若 線性相關, 也線性相關, 則有不全爲零的數 , 使 同時成立. 2、 判斷下列向量組是否線性相關 : (1) (2) (3) (4) . 3． 設向量組 線性無關, 討論向量組 的線性相關性 . 4、 設向量組 線性無關, 線性相關, 則 必可由向量組 線性表示. 5 、選擇題 (1) 維向量組 線性無關的充分必要條件是 A. 存在一組不全爲零的數 , 使 B. 中任意兩個向量都線性無關 C. 中存在一個向量 , 它不能由其他向量線性表示 D. 中任意一個向量都不能被其他向量線性表示 . (2) 已知向量組 線性無關, 則向量組 A. 也線性無關B. 也線性無關C. 也線性無關D. 也線性無關. (3) 設有任意兩個 維向量組 與 . 如果存在兩組不全爲零的數 與 使 則 A. 與 . 線性相關B. 與 . 線性無關C. 線性無關D. 線性相關.