無理數是什麼意思

無理數”的意思：

無理數，也稱爲無限不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環。常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中後兩者均爲超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。

無理數”的定義：

在數學中，無理數是所有不是有理數字的實數，後者是由整數的比率（或分數）構成的數字。當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述爲不可比較的，這意味着它們不能測量”，即沒有長度（度量”）。

無理數”的舉例：

圓周長與其直徑的比值，歐拉數e，黃金比例φ等等。

無理數”的表示：

可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重複，即不包含數字的子序列。例如，數字π的十進制表示從3.141592653589793開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重複。必須終止或重複的有理數字的十進制擴展的證據不同於終止或重複的十進制擴展必須是有理數的證據，儘管基本而不冗長，但兩種證明都需要一些工作。數學家通常不會把終止或重複”作爲有理數概念的定義。

無理數”的歷史：

公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長爲1，則對角線的長不是一個有理數），這一不可公度性與畢氏學派的萬物皆爲數”（指有理數）的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐，認爲這將動搖他們在學術界的統治地位，於是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒。被畢氏門徒殘忍地投入了水中殺害。科學史就這樣拉開了序幕，卻是一場悲劇。

希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在着不能用有理數表示的孔隙”。而這種孔隙”經後人證明簡直多得不可勝數”。於是，古希臘人把有理數視爲連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同芝諾悖論一同被稱爲數學史上的第一次數學危機，對以後2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學和邏輯學的發展，並且孕育了微積分思想萌芽。