國中怎麼求點到直線的距離
來源:趣味百科館 2.53W
空間點到直線的距離公式:設直線L的方程爲Ax+By+C=0,點P的座標爲(Xo,Yo),則點P到直線L的距離爲|AXo+BYo+C|/√(A²+B²)。
證明方法
根據定義,點P(x₀,y₀)到直線l:Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長,設點P到直線的垂線爲l',垂足爲Q,則l'的斜率爲B/A則l'的解析式爲y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'聯立得l與l'的交點Q的座標爲((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由兩點間距離公式得
PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2
+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2
+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2
=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2
+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2
=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)
所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2),公式得證。