圓系方程的推導過程

圓系方程的推導過程：已知圓A：x²+y²+D1x+E1y+F1=0與圓B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0……①,當λ≠-1時，方程①表示過圓A與圓B的交點的圓系的方程，當λ=0時，表示圓A，但不能表示。

圓系方程是一種特殊的方程。在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱爲圓系方程。例如求半徑到直線距離的方程就可以叫圓系方程。

例題：

例2：求過兩圓x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的交點且面積最小的圓的方程。

分析：本題若先聯立方程求交點，再設所求圓方程，尋求各變量關係，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。爲了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉化爲求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。

解：圓x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程爲

x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-9=0

過直線2x+2y-9=0與圓x^2+y^2=25的交點的圓系方程爲

x^2+y^2-25+λ(2x+2y-9)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(9λ+25)=0

依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必爲所求圓的直徑，圓心(-λ,-λ)必在公共弦所在直線2x+2y-9=0上。即-2λ-2λ-9=0，則λ=-9/4

代回圓系方程得所求圓方程(x-9/4)^2+(y-9/4)^2=79/8