什麼是傅里葉級數

一種特殊的三角級數。形如

的級數，其中αn(n=0，1，2，…)和bn(n=1，2，…)是與x無關的實數，稱爲三角級數。特別，當(1)中的係數αn，bn可通過某個函數ƒ(x)用下列公式表示時，級數(1)稱爲ƒ的傅里葉級數：

式中ƒ是週期2π的可積函數，即ƒ∈l1(-π，π)。此時，由公式(2)得到的係數αn，bn稱爲ƒ的傅里葉係數。ƒ的傅里葉級數記爲

當然，ƒ的傅里葉級數並不一定收斂；即使收斂，也不一定收斂於ƒ(x)。假如已知三角級數一致收斂於ƒ(x)，即

問題往往是，給定函數ƒ，需要把它表示成三角級數(1)。J.-B.-J.傅里葉的建議是，利用公式(2)，求出ƒ的傅里葉係數αn，bn，就得到傅里葉級數(3)。可以證明，只要ƒ滿足一定的條件，那麼ƒ的傅里葉級數σ[ƒ]收斂於ƒ。

傅里葉級數的收斂判別法

常用的判別法有：

（1）迪尼判別法　對固定的點x，如有數s，使得函數φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在[-π，π]上勒貝格可積，則σ[ƒ]在點x收斂於s。由此可知，當ƒ在點x連續，並滿足李普希茨條件，即

（2）狄利克雷－若爾當判別法　假設函數ƒ在含有點x的某區間，例如［x-h，x+h］上分段單調，則ƒ的傅里葉級數在點x收斂於(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。

上面提到的收斂判別法，對函數所提的要求，都是充分條件，並非必要的。關於收斂性判別法，還有幾種。值得注意的是，至今還沒有收斂的充分且必要的條件。

傅里葉級數的複數形式

三角級數(1)還可用指數函數來表示。事實上，

這裏，(4)的部分和Sn理解爲

上式表達的сn稱爲ƒ的復傅里葉係數，又稱ƒ的傅里葉係數的復形式。

傅里葉係數的重要性質

列舉下面兩條：

（1）若ƒ(x∈l(-π，π)，則ƒ的傅里葉係數αn，bn（或сn），當n→∞時趨於0，稱爲黎曼-勒貝格定理。

（2）若ƒ(x∈l2(-π，π)，則有

這個等式稱爲帕舍伐爾等式；反之假如{сk}是一列雙向的數列，滿足條件

三角級數與單位圓內解析函數的關係

設z=eix(0≤x<2π)是複平面單位圓周上的點，於是級數

的實部就是三角級數(1)，虛部

稱爲三角級數(1)的共軛級數。假如(6)中的z表示單位圓內的點，即z=reix(0≤r<1)，那麼(6)就是復變數z=reix的冪級數，當它收斂時，其和函數是單位圓內的解析函數。所以三角級數(1)可以看做單位圓內解析函數邊界值的實部。

多元三角級數與多元傅里葉級數

設

稱爲m元三角級數，其中

Q:-π ≤xj≤π　(j=1，2，…，m)　(9)

上，ƒ是勒貝格可積的。類似於(5)，如果(8)中係數

那麼稱(8)爲ƒ的傅里葉級數，並記爲

多元傅里葉係數也有類似於一元傅里葉係數的許多性質，但多元三角級數與多元傅里葉級數的許多問題，卻遠較一元複雜。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅里葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的惟一性定理，並揭示了多元傅里葉級數的里斯-博赫納球形平均的許多特性。

傅里葉級數在數學物理以及工程中都具有重要的應用。

A. Zygmund，Trigonometric Series，Vol. 1～2， Cambridge s，Cambridge，1959.