實數集包括什麼

實數，是有理數和無理數的總稱。也可說是正數、0、負數的總稱。數學上，實數定義爲與數軸上的點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成複數。

實數可以分爲有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

所有實數的集合則可稱爲實數系（real number system）或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱爲實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。

實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n爲正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。

實數的基本運算：

實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數（即正數和0）還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不爲零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。

實數的性質：

封閉性

R 實數集對加、減、乘、除（除數不爲零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商（除數不爲零）仍然是實數。

有序性

實數集是有序的，即任意兩個實數 a 、b 必定滿足並且只滿足下列三個關係之一：a＜b ，a=b ， a＞b。

傳遞性

實數大小具有傳遞性，即若 a＞b ，且 b＞c，則有 a＞c 。

阿基米德性質

實數具有阿基米德性質（Archimedean property），即∀a ， b∈R，若 a＞0，則∃正整數 n， na＞b 。

稠密性

R實數集具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數.

完備性

作爲度量空間或一致空間，實數集合是個完備空間，它有以下性質：

一. 所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

有理數集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。實際上，它有個實數極限 √2 。

實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。

極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。

二. “完備的有序域”

實數集合通常被描述爲“完備的有序域”，這可以幾種解釋。

首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素（對任意元素z ， z+1 將更大）。所以，這裏的“完備”不是完備格的意思。

另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這裏的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法，即從（有理數）有序域出發，通過標準的方法建立戴德金完備性。

R 這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而，有序羣（域是種特殊的羣）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。（這裏採用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。）當然，並不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法，即從（有理數）阿基米德域出發，通過標準的方法建立一致完備性。

“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同於上述的意思。他認爲，實數構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法，即從某個包含所有（超實數）有序域的純類出發，從其子域中找出最大的阿基米德域。

與數軸對應

R 如果在一條直線（通常爲水平直線）上確定 O 作爲原點，指定一個方向爲正方向（通常把指向右的方向規定爲正方向），並規定一個單位長度，則稱此直線爲數軸。任一實數都對應與數軸上的唯一一個點；反之，數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。於是，實數集與數軸上的點有着一一對應的關係。

高級性質

實數集是不可數的，也就是說，實數的個數嚴格多於自然數的個數（儘管兩者都是無窮大）。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數集的勢爲 2ω （請參見連續統的勢），即自然數集的冪集的勢。由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數，絕大多數實數是超越數。實數集的子集中，不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合，這就是連續統假設。事實上這假設獨立於ZFC集合論，在ZFC集合論內既不能證明它，也不能推出其否定。

所有非負實數的平方根屬於R，但這對負數不成立。這表明R上的序是由其代數結構確定的。而且，所有奇數次多項式至少有一個根屬於R。這兩個性質使成爲實封閉域的最主要的實例。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。

實數集擁有一個規範的測度，即勒貝格測度。

實數集的上確界公理用到了實數集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集：1. Löwenheim–Skolem theorem定理說明，存在一個實數集的可數稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題；2. 超實數的集合遠遠大於R，但也同樣滿足和R一樣的一階邏輯命題。滿足和R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱爲R的非標準模型。這就是非標準分析的研究內容，在非標準模型中證明一階邏輯命題（可能比在中證明要簡單一些），從而確定這些命題在R中也成立。

拓撲性質

實數集構成一個度量空間：

x 和 y 間的距離定爲絕對值|x-y|。作爲一個全序集，它也具有序拓撲。這裏，從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊緻空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊緻空間。這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽：

i.令 a 爲一實數。 a 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。

ii.R是可分空間。

iii. Q 在R中處處稠密。

iv.R的開集是開區間的聯集。

v.R的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。

vi.每個R中的有界序列都有收斂子序列。

vii.R是連通且單連通的。

viii.R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質可迅速導出中間值定理。