正交矩陣的性質

如果AAT=E（E爲單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱爲正交矩陣。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。

正交矩陣的性質

1、逆也是正交陣

對於一個正交矩陣來說，它的逆矩陣同樣也是正交矩陣。

2、積也是正交陣

如果兩個矩陣均爲正交矩陣，那麼它們的乘積也是正交矩陣。

3、行列式的值爲正1或負1

任何正交矩陣的行列式是+1或−1對於置換矩陣，行列式是+1還是−1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函數。

4、在複數上可以對角化

比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特徵值的完全的集合，它們全都必須有(複數)絕對值1。

5、羣性質

正交矩陣的逆是正交的，兩個正交矩陣的積是正交的。事實上，所有n×n正交矩陣的集合滿足羣的所有公理。它是n(n−1)/2維的緊緻李羣，叫做正交羣並指示爲O(n)。

行列式爲+1的正交矩陣形成了路徑連通的子羣指標爲2的O(n)正規子羣，叫做旋轉的特殊正交羣SO(n)。商羣O(n)/SO(n)同構於O(1)，帶有依據行列式選擇[+1]或[−1]的投影映射。