冪函數求導
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最佳答案爲:(x^a)'=ax^(a-1)。
證明:y=x^a
兩邊取對數lny=alnx
兩邊對x求導(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
y=a^x
兩邊同時取對數:
lny=xlna
兩邊同時對x求導數:
==>y'/y=lna
==>y'=ylna=a^xlna
冪函數:一般的,形如y=x(a爲實數)的函數,即以底數爲自變量,冪爲因變量,指數爲常量的函數稱爲冪函數。例如函數y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x時x≠0)等都是冪函數。當a取非零的有理數時是比較容易理解的,而對於a取無理數時,初學者則不大容易理解了。因此,在初等函數裏,我們不要求掌握指數爲無理數的問題,只需接受它作爲一個已知事實即可,因爲這涉及到實數連續性的極爲深刻的知識。
冪函數是基本初等函數之一。
一般地,y=xα(α爲有理數)的函數,即以底數爲自變量,冪爲因變量,指數爲常數的函數稱爲冪函數。例如函數y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注:y=x-1=1/x、y=x0時x≠0)等都是冪函數。
特性:
對於α的取值爲非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果 ,q和p都是整數,則 ,如果q是奇數,函數的定義域是R;如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。
當指數α是負整數時,設α=-k,則 ,顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點,一是有可能作爲分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能爲負數,那麼我們就可以知道:
α小於0時,x不等於0;
α的分母爲偶數時,x不小於0;
α的分母爲奇數時,x取R。